Introduction: Metrics Everywhere

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第一章 长度结构: 道路度量空间

(Length Structures: Path Metric Spaces)

介绍

在经典黎曼几何中, 我们从光滑流形 $X$ 开始, 然后研究丛 $S^2T^*X$ 的光滑、正定截面 $g$. 为了引进协变导数和曲率的基本概念(cf.[Grl-Kl-Mey] or [Milnor]${}_{MT}$, Ch.2), 仅运用了 $g$ 的可微性而并未用到它的正定性, 正如在广义相对论中使用洛伦兹几何(Lorentzian geometry)阐述的那样. 与之对比, $X$ 中曲线长度的概念以及相应于度量 $g$ 的测地距离概念依赖于下面的事实: $g$ 在 $X$ 的切空间 $T_x X$ 上给出了一族连续范数. 我们将研究长度(length)和距离(distance)的相关概念.

A. 长度结构(Length Structures)

1.1 Def.

设 $X,Y$ 是两个度量空间, 映射 $f:X\rightarrow Y$ 的 dilatation (缩放量度)定义为

\[
\text{dil}(f):=\sup_{x_1,x_2\in X, x_1\neq x_2}\frac{d_Y(f(x_1),f(x_2))}{d_X(x_1,x_2)}
\]

这里 $d_X,d_Y$ 分别指度量空间 $X,Y$ 上的距离函数. 显然 $\text{dil(f)}\in[0,+\infty]$.

为方便, 定义 $X\times X$ 上的函数 $\text{dil}_f$ 为:

\[
\text{dil}_f(x_1,x_2):=\frac{d_Y(f(x_1),f(x_2))}{d_X(x_1,x_2)},
\]

于是,

\[
\text{dil}(f)=\sup_{x_1,x_2\in X, x_1\neq x_2}\text{dil}_f(x_1,x_2).
\]

也可以定义 $f$ 在一点处的局部缩放量度(local dilatation):

\[
\begin{split}
\text{dil}_x(f):=&\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\text{dil}(f|_{B(x,\varepsilon)})\\
=&\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\sup_{s,t\in B(x,\varepsilon),s\neq t}\frac{d_Y(f(s),f(t))}{d_X(s,t)}.
\end{split}
\]

映射 $f$ 称为

• Lipschitz 的, 如果 $\text{dil}(f) < +\infty$;
• $\lambda$-Lipschitz 的, 如果 $\text{dil}(f)\leqslant\lambda$.

此时称 $\text{dil}(f)$ 为 $f$ 的 Lipschitz 常数. 也记为 $\text{Lip}(f)$.

易见, Lipschitz 常数等价于下面的定义:

\[
\text{Lip}(f):=\sup_{B\subset X}\frac{\text{diam}_Y(f(B))}{\text{diam}_X(B)}.
\]

其中 $\text{diam}_Y()$ 是指在度量空间 $Y$ 中的直径函数. 上确界是对于取遍 $X$ 中的有界集而言的.

Question: 证明上面两种定义是等价的. (证明见 问题944)

Claim: 若 $f:[a,b]\rightarrow X$ 是 Lipschitz 映射, 则函数 $t\mapsto\mathrm{dil}_t(f)$ 是可测的.

Pf. 参见问题961

1.2 Def. 设 $f:[a,b]\rightarrow X$ 是 Lipschitz 映射, 定义 $f$ 的长度(length)为

\[\ell(f):=\int_a^b\text{dil}_t(f)dt.\]